FANDOM


Πράξη είναι κάθε συνάρτηση με πεδίο ορισμού όλα τα διατεταγμένα ζεύγη στοιχείων ενός διανυσματικού υποχώρου και πεδίο τιμών έναν διανυσματικό υποχώρο, όπου και οι δύο διανυσματικοί υπόχωροι ανήκουν στον ίδιο διανυσματικό χώρο.


Σχετικές έννοιεςEdit

Όρος είναι κάθε στοιχείο της ανεξάρτητης.


Αποτέλεσμα είναι η εξαρτημένη.


Η πράξη συμβολίζεται με π.

ΙδιότητεςEdit

1)Κλειστότητα:

  • Κλειστή πράξη είναι η πράξη στην οποία οι χώροι των όρων είναι οι χώροι των αποτελεσμάτων.
  • Ανοιχτή πράξη είναι η πράξη που δεν είναι κλειστή.


2) Αντιμεταθετική πράξη είναι πράξη στην οποία το αποτέλεσμα δύο όρων ισούται με το αποτέλεσμα των αντιμεταθετημένων όρων..

Άρα, αν η π είναι αντιμεταθετική, τότε π(α,β)=π(β,α).

Η πράξη ίσων όρων είναι αντιμεταθετική.

Έστω ένα σειροσύνολο ν όρων. Θεωρώ το εξής βήμα:

Θεωρώ το σειροσύνολο που προκύπτει, αν αντικατασταθούν δύο όροι, όπου ό ένας είναι επόμενος του άλλου, με το αποτέλεσμα της μεταξύ τους πράξης (δεξιόο είναι το επόμενο στοιχείο).

το πλήθος του ύστερου σειροσυνόλου ισούται με το πλήθος του αρχικού πλην έναEdit

απόδειξηEdit

Έστω ένα σειροσύνολο με ίδια στοιχεία με ένα άλλο εκτός από το αποτέλεσμα δύο στοιχείων του ενός που περιέχονται στο άλλο.

Αντιστοιχίζω κάθε όρο με τον εαυτό του στο άλλο σειροσύνολο. Στο αρχικό δεν έχουν αντιστοιχιθεί δύο και στο ύστερο ένα. Επιπλέον, ένα και ένα ισούται με δύο.

Λοιπόν, ισχύει ότι το πλήθος του ύστερου σειροσυνόλου ισούται με το πλήθος του αρχικού πλην ένα.

συμπέρασμαEdit

Επομένως, το πλήθος του ύστερου σειροσυνόλου ισούται με το πλήθος του αρχικού πλην ένα!

Θεωρώ την ακολουθία των βημάτων.

η σειρά του βήματος συν το πλήθος των στοιχείων του αντίστοιχου σειροσυνόλου ισούται με ν+1Edit

απόδειξηEdit

Έστω (τα παραπάνω).

Έστω η πρόταση π(μ): η σειρά του μιοστού βήματος συν το πλήθος των στοιχείων του αντίστοιχου σειροσυνόλου ισούται με ν+1. Η π(1) ισχύει, γιατί το πλήθος του σειροσυνόλου είναι ν και η σειρά του βήματος 1. Αν π(κ), τότε η σειρά του κιοστού βήματος συν το πλήθος των στοιχείων του αντίστοιχου σειροσυνόλου ισούται με ν+1

Λοιπόν, ισχύει ότι η σειρά του βήματος συν το πλήθος των στοιχείων του αντίστοιχου σειροσυνόλου ισούται με ν+1.

συμπέρασμαEdit

Επομένως, η σειρά του βήματος συν το πλήθος των στοιχείων του αντίστοιχου σειροσυνόλου ισούται με ν+1!

Άρα στο νιοστό βήμα θα υπάρχει ένας όρος, το αποτέλεσμα της ακολουθίας πράξεων μιας προσεταιριστικής πράξης σε ένα σειροσύνολο όρων.

το αποτέλεσμα οποιασδήποτε ακολουθίας πράξεων μιας προσεταιριστικής πράξης σε ένα σειροσύνολο όρων ισούται με οποιοδήποτε αποτέλεσμα οποιασδήποτε άλλης ακολουθίας πράξεων αυτής της πράξης στο σειροσύνολο όρωνEdit

απόδειξηEdit

Έστω το κάθε αποτέλεσμα αντιστοιχεί σε μία σειρά πράξεων.


Λοιπόν, ισχύει ότι σε ένα σειροσύνολο ν όρων το αποτέλεσμα μιας ακολουθία πράξεων προσεταιριστικής πράξης ισούται με το αποτέλεσμα μιας άλλης ακολουθίας πράξεων της πράξης.

συμπέρασμαEdit

Επομένως, το αποτέλεσμα οποιασδήποτε ακολουθίας πράξεων μιας προσεταιριστικής πράξης σε ένα σειροσύνολο όρων ισούται με οποιοδήποτε αποτέλεσμα οποιασδήποτε άλλης ακολουθίας πράξεων αυτής της πράξης στο σειροσύνολο όρων!

3) Προσεταιριστική πράξη είναι η κλειστή πράξη στην οποία το αποτέλεσμα ενός αριστερόου ζεύγους δύο όρων και ενός δεξιόου όρου ισούται με το αποτέλεσμα του αριστερόου όρου του ζεύγους και ενός δεξιόου ζεύγους με αριστερόο όρο το δεξιόο όρο του άλλου και δεξιόο όρο το δεξιόοο όρο..


Πολύπραξη είναι η πράξη που είναι αντιμεταθετική και προσεταιριστική.


Σε μια πολύπραξη ισχύουν οι ιδιότητες που έχει εξορισμού και ότι απορέει από αυτές.


4) Επιμεριστική πράξη π επί της πράξης ρ είναι η πράξη για την οποία ισχύει π(ρ(α,β),γ)=ρ(π(α,γ),π(α,β)).


Ειδικοί όροιEdit

Ουδέτερος όρος είναι ο όρος για τον οποίο το αποτέλεσμα της πράξης του με έναν τυχαίο όρο ισούται με τον τυχαίο όρο. Άρα, αν 0 ο ουδέτερος όρος, τότε π(0,α)=α

Αποροφητικός όρος είναι ο όρος για τον οποίο η πράξη με τυχαίο όρο ισούται με τον ίδιον τον όρο. Άρα, αν 0 ο αποροφητικός όρος, τότε π(0,α)=0

αν ο ουδέτερος όρος ισούται με τον αποροφητικό, τότε ο διανυσματικός χώρος τον οποίο αφορά η πράξη είναι μηδενικόςEdit

απόδειξηEdit

Έστω ο ουδέτερος όρος ισούται με τον αποροφητικό όρο.

Έστω 0 ο ουδέτερος όρος, τότε 0 είναι και ο αποροφητικός όρος. Έστω τυχαίος όρος α στο διανυσματικό χώρο. Τότε ισχύει:

  • π(0,α)=α
  • π(0,α)=0

Άρα α=0, δηλαδή όλα τα στοιχεία του χώρου ισούνται με ένα στοιχείο, άρα ο χώρος είναι μηδενικός.

Λοιπόν, ισχύει ότι ο διανυσματικός χώρος τον οποίο αφορά η πράξη είναι ο μηδενικός.

συμπέρασμαEdit

Επομένως, αν ο ουδέτερος όρος ισούται με τον αποροφητικό, τότε ο διανυσματικός χώρος τον οποίο αφορά η πράξη είναι μηδενικός!

Ad blocker interference detected!


Wikia is a free-to-use site that makes money from advertising. We have a modified experience for viewers using ad blockers

Wikia is not accessible if you’ve made further modifications. Remove the custom ad blocker rule(s) and the page will load as expected.

Also on FANDOM

Random Wiki